Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点.

（1）求出直线和抛物线的函数表达式；

（2）在图1中，平移线段，恰好可以使得点落在直线上，并且点落在抛物线上，点、对应的点分别为、，求此时点的坐标（点在第四象限）；

（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得面积与面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.（点在第一象限）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P的坐标为（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．.

【解析】

（1）将点B（-2，-5）代入直线y=x+m即可求出直线解析式，将A（n，0）代入直线解析式y=x-3即可求出点A坐标，将A，B代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线解析式；
（2）先根据直线AB的解析式设出点N坐标，根据平移的性质可知xA-xC=xM-xN，yC-yA=yN-yM，将C，A，N三点坐标代入即可求出含字母的点M的坐标，将M的坐标代入二次函数解析式即可求出M的具体值；
（3）分两种情况讨论，当点P在MC上方的抛物线上时，过点A作CM的平行线交抛物线于点P，交y轴于点E，求出AE的解析式，再求出其与抛物线交点即可，当点P在MC下方的抛物线上时，先找出点E关于点C的对称点O，然后按照相同的方法即可求出点P．

（1）将代入，

得，

∴，

把代入，

得，

∴，

∴，

将，代入，

得，

解得：，，

∴；

（2）∵在中，

当时，，

∴，

∵点在直线上，

∴设，

如图1，由平移的性质知，四边形是平行四边形，

∴，，

∵，，，

∴，

将代入，

得，

解得：（舍去），，

∴；

（3）①当如图2-1，过点作的平行线，交抛物线于点，交轴于点，此时的面积与的面积相等，

将，代入，

得，

解得：，，

∴，

∵，

∴设，

将点代入，

得，

∴，

联立与，

得，

解得：，，

∴.

②当点P在AC下方的抛物线上时，
在yAE=-2x+6中，
当x=0时，y=6，
∴E（0，6），
则点E与原点O关于点C对称，过点O作CM的平行线l，
则yl=-2x，
联立y=-x2+2x+3与yl=-2x，
得-x2+2x+3=-2x，
解得x1=2+，x2=2-，
∴P（2+，-4-2）或（2-，2-4），

综上所述，P的坐标为（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．