Question

如图，已知抛物线l₁：y=x²-4的图象与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；
（2）若点B是抛物线l₁上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；
（3）探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：设l₂的解析式为y=a（x-h）²+k
∵l₁与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l₁与l₂关于x轴对称，
∴l₂过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）
∴y=ax²+4
∴0=4a+4得a=-1
∴l₂的解析式为y=-x²+4

（2）证明：设B（x₁，y₁）
∵点B在l₁上
∴B（x₁，x₁²-4）
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D（-x₁，-x₁²+4）．
将D（-x₁，-x₁²+4）的坐标代入l₂：y=-x²+4
∴左边=右边
∴点D在l₂上．

（3）解：设平行四边形ABCD的面积为S，
则S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|
a．当点B在x轴上方时，y₁＞0
∴S=4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b．当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0
∴S=-4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，
∴当y₁=-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形，
此时S_最大=16．
分析：（1）因为关于x轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以可得l₂的解析式；
（2）设点B的坐标为（x₁，x₁²-4），根据题意求的点D的坐标，代入解析式即可证明：点D在l₂上；
（3）首先表示出S的值，根据函数值的范围即可得当点B在x轴上方时，y₁＞0，
S=4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值；
当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0，S_最大=16．
点评：考查一次函数、二次函数的解析式、图象、性质等知识点，考查综合应用知识，分析问题解决问题的能力．