Question

19．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC边上的伴随圆的半径为2．
（2）如图2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，画草图并直接写出它的所有伴随圆的半径．
（3）如图3，△ABC中，∠ACB=90°，点P在边AB上，AP=2BP，D为AC中点，且∠CPD=90°．
①求证：△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆；
②求cos∠PDC的值．

Answer 1

分析 （1）先依据勾股定理求得AC的长，然后依据切线的性质可知AC为圆的直径，故此可求得△BAC的伴随圆的半径等于AC的一半；
（2）当O在BC上时，连接OD，过点A作AE⊥BC．由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE=4，依据切线的性质可证明OD⊥AB，接下来证明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；当O在AB上且圆O与BC相切时，连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．先证明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性质可求得圆O的半径，当O在AB上且圆O与AC相切时，连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．先依据面积法求得BF的长，然后再证明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；
（3）①连接OB、OP，先证明$\frac{AD}{AO}=\frac{PA}{AB}$，从而得到PD∥OB，于是可得到∠1=∠4，接下来证明△BCO≌△BPO，从而可证明∠BPO=90°；②设圆O的半径为r，依据勾股定理定理依据求得PA、BC、OB的长，从而可求得cos∠1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$接下来，由∠PDC=∠1可求得cos∠PDC=的值．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∵BC是圆的切线，∠BCA=90°，
∴AC为圆的直径．
∴AC边上的半随圆的半径为2．
故答案为：2．
（2）当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=3．
在△AEB中，由勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4．
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB．
∴∠BDO=∠BEA=90°．
又∵∠OBD=∠EBA，
∴△ODB∽△AEB．
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OB}{AB}$．
设⊙O的半径为r．在OB=6-r．
∴$\frac{r}{4}=\frac{6-r}{5}$．
∴r=$\frac{8}{3}$．
∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为$\frac{8}{3}$．（3分）
当O在AB上时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC．
又∵AE⊥BC，
∴OD∥AE．
∴△BOD∽△BAE．
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OD}{AE}$．
设⊙O的半径为r，则OB=5-r．
∴$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4}$．
∴r=$\frac{20}{9}$．
如图（3）所示：连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BF．
∴BF=4.8．
∵AC与⊙O相切，
∴DO⊥AC．
∴DO∥BF．
∴△AOD∽△ABF．
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OD}{BF}$即$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4.8}$．
∴r=$\frac{120}{49}$．
综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为$\frac{8}{3}$或$\frac{20}{9}$或$\frac{120}{49}$．
（3）①证明：如图（4）连接OP、OB．

∵△CPD为直角三角形，
∴△CPD的外接圆圆心O在CD中点．
设⊙O的半径为r，则DC=2r，OA=3r．
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{2}{3}$．
∵PA=2BP，
∴$\frac{PA}{AB}=\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{PA}{AB}$．
∴PD∥OB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4．
在△BCO和△BPO中$\left\{\begin{array}{l}{OC=OP}\\{∠1=∠4}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△BPO．
∴∠BPO=∠BCO=90°．
∴AB是圆O的切线．
∴△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆．
②解：如图（4）设圆O的半径为r．
∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，
∴PA=$\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r．
∴AB=3$\sqrt{2}$r．
∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3$\sqrt{2}$r，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$r．
∵在Rt△OBC中，OC=r，BC=$\sqrt{2}$r，
∴OB=$\sqrt{O{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$r．
∴cos∠1=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{r}{\sqrt{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠PDC=∠1，
∴cos∠PDC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质和判定、圆的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答问题（2）的关键，证得AB是圆O的切线是证明问题（3）的关键．