Question

16．当m≠0，且|m|≠1时，分式$\frac{1+m}{m-{m}^{2}}$的分子和分母同时乘以某一个整式，得到$\frac{{m}^{2012}+2{m}^{2013}+{m}^{2014}}{{m}^{2013}-{m}^{2015}}$，试求这个整式．

Answer 1

分析 根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案．

解答 解：$\frac{{m}^{2012}+2{m}^{2013}+{m}^{2014}}{{m}^{2013}-{m}^{2015}}$，
=$\frac{{m}^{2012}（1+2m+{m}^{2}）}{{m}^{2013}（1-{m}^{2}）}$，
=$\frac{（m+1）^{2}}{m（1+m）（1-m）}$，
=$\frac{m+1}{m（1-m）}$，
=$\frac{1+m}{m-{m}^{2}}$，
∵m≠0，且|m|≠1，
∴分式$\frac{1+m}{m-{m}^{2}}$的分子和分母同时乘以m²⁰¹²（m+1）后，得到$\frac{{m}^{2012}+2{m}^{2013}+{m}^{2014}}{{m}^{2013}-{m}^{2015}}$，
∴这个整式是m²⁰¹²（m+1），
即m²⁰¹³+m²⁰¹²．

点评 本题考查了分式的基本性质和分解因式，熟练掌握分解因式是本题的关键，注意分母不能为0；利用分式的基本性质乘除时，要保证同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．