Question

9．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=$\sqrt{3}$时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AC为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD与DC垂直，得到OC与CD垂直，即可得证；
（2）由AB=2BE，且AB=2OB，得到OB=BE，进而得到OC等于OE的一半，确定出∠E为30度，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为圆O的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵AB=2BE，且AB=2OA=2OB，
∴OA=OB=BE=OC，即OC=$\frac{1}{2}$OE，
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{3}$，
∴OC=1，OE=2，即AE=3，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=1.5．

点评 此题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．