Question

【题目】如图，在梯形中，，若，，，分别是梯形各边、、、的中点．

求证：四边形平行四边形；

当梯形满足什么条件时，四边形是菱形；

在的条件下，梯形满足什么条件时，四边形是正方形．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）连接对角线，利用三角形中位线定理，根据平行四边形的判定方法判断．

（2）根据菱形四边相等可推出梯形对角线相等，即梯形是等腰梯形，AD=BC．

（3）要证明四边形EFGH是正方形，则要证明四边形EFGH有一个角是直角．

证明：连接、．

∵、、、分别是、、、的中点，

∴，；

，．

∴，．

∴四边形为平行四边形；

解：∵，，

∴若四边形为菱形，

则，从而．得为等腰梯形，．

∴当梯形的边满足时，四边形为菱形．

解：∵四边形为菱形，

根据有一个角是直角的菱形是正方形，

故梯形满足条件时，四边形是正方形．