Question

如图，⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标为（1，-1），半径为

5

．
（1）求A，B，C，D四点的坐标；
（2）求经过点D的切线解析式；
（3）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．

Answer 1

（1）连接O'B，过点O'分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、如图
∵BH=

O′B2-O′H2

=2，
∴OB=3，
∴点B的坐标为（3，0）；（1分）
∵AH=BH=2，OH=1，
∴点A的坐标为（-1，0），（2分）
类似地，可得到点C、D的坐标分别为（0，1），（0，-3）；（4分）

（2）设过点D的切线交x轴于点E，EA=x，
则DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，点E的坐标为（-6，0）；（7分）
设所求切线的解析式为y=kx+b，因为它经过（0，-3）和（-6，0）两点，
则

b=-3 -6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=-3

∴所求解析式为y-

1

2

-3；（8分）

（3）答：过点A的切线与过点D的切线互相垂直．证明如下：（9分）
证明：设过点A的切线与DE相交于点M，与y轴相交于点N；
∵AB=CD=4，即有

AB

=

CD

∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴过点A的切线与过点D的切线互相垂直．（11分）