Question

10．如图，长方形ABCD，AB=18，AD=8，E为CD边上一点，CE=12，
（1）则AE=10；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质求出∠D=90°，AB=CD=18，求出DE后根据勾股定理求出AE即可；
（2）过E作EM⊥AB于M，求出AM=DE=6，当EP=EA时，AP=2DE=12，即可求出t；当AP=AE=10时，求出BP=8，即可求出t；当PE=PA时，则（12-2t）²+8²=（18-2t）²，求出t即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，AB=CD=18，
∵CE=12，
∴DE=6，
在Rt△ADE中，∠D=90°，AD=8，DE=6，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
故答案为：10；

（2）过E作EM⊥AB于M，
则AM=DE=6，
若△PAE是等腰三角形，则有三种可能：
当EP=EA时，AP=2DE=12，
所以t=$\frac{BP}{2}$=$\frac{18-12}{2}$=3；
当AP=AE=10时，BP=18-10=8，
所以t=8÷2=4；
当PE=PA时，则（12-2t）²+8²=（18-2t）²，
解得：t=$\frac{29}{6}$．
综合上述：符合要求的t值为3或4或$\frac{29}{6}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，能求出符合条件的所以情况是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．