Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC并延长至D，使CD=AC，连结BD，作CE⊥BD，垂足为E.

（1）线段AB与DB的大小关系为___________，请证明你的结论；

（2）求证：CE 是⊙O的切线；

（3）当△CED与四边形ACEB的面积比是1:7时，试判断△ABD的形状，并证明.

Answer 1

【答案】（1）ＡＢ＝ＤＢ；（2）见解析；（3）△ＡＢＤ为等边三角形，理由见解析

【解析】试题分析：（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由AC=CD，利用三线合一的知识，即可判定AB=DB；

（2）首先连接OC，由点O为AB的中点，点C为AD的中点，根据三角形中位线的性质，可证得OC∥BD，又由CE⊥BD，即可证得CE⊥OC，即得CE与⊙O的切线；

（3）易证得△CED∽△BCD，然后由相似三角形的对应边成比例证得：CD：BD=1：2，可求得∠CBD=30°，即可得∠D=60°，则可证得△ABD是等边三角形．

试题解析：（1）AB=DB，证明如下：

连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AD，

又∵AC=CD，∴BC垂直平分线段AD，∴AB=DB；

（2）连接OC，

∵点O为AB的中点，点C为AD的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC//BD，

又∵CE⊥BD，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；

（3）△ABD是等边三角形，证明如下：

由＝，

得＝，

∴＝，

即＝，∴＝， ＝，

∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，∴△CED∽△BCD，

∴＝，即＝，∴＝，

在Rt△BCD中，∵sin∠CBD=＝，

∴∠CBD=30°，∴∠D=60°，

又∵AB=DB，∴△ABD是等边三角形.