Question

如图，抛物线y=-x²-x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；
（3）当PA-PB最大时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x=0，y=2，可得B点坐标；
（2）当A、B、P三点共线时，PA-PB=AB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；
（3）通过分析可知，PA-PB最大时，A、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y=0，可得P点坐标．
解答：（1）解：抛物线y=-x²-x+2与y轴的交于点B，
令x=0得y=2．
∴B（0，2）
∵y=-x²-x+2=-（x+2）²+3
∴A（-2，3）

（2）证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
PA-PB=AB．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB．
综合上述：PA-PB≤AB

（3）解：作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，
故P（4，0）．
注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．
点评：本题考查了抛物线解析式的运用，三角形的三边关系问题，需要形数结合，综合考虑问题．