Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

（1）y=﹣2x²+6x+8；（2）EF=t，OF=t﹣2；（3）或8

试题分析：（1）由二次函数的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0）根据待定系数法求解；
（2）先根据同角的余角相等可得∠DEF=∠ODA，即可证得△EDF∽△DAO，根据相似三角形的性质可得，即可得到EF的长，同理可得DF的长，即可求得OF的长；
（3）先求的抛物线与y轴的交点C，即得OC的长，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，分当∠CEA=90°时，当∠ECA=90°时，两种情况，根据勾股定理列方程求解即可.
（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴．
∵，
∴=，
∴，
∴EF=t．
同理，
∴DF=2
∴OF=t﹣2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M

则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
当∠CEA=90°时，CE²+AE²=AC²

解得
当∠ECA=90°时，CE²+AC²=AE²

解得
即点D与点C重合.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．