Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A．

（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；

（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．

①当OA⊥OP时，求OP的长；

②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）顶点A的坐标为（2，1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线对称轴列方程求出，即可得到抛物线解析式，再根据解析式写出顶点坐标；

（2）设对称轴与轴的交点为E．①求出，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到，然后利用勾股定理列式计算即可；②过点B作AP的垂线，垂足为F，根据抛物线解析式设出点B的坐标，然后表示出，在和中，利用相等的锐角的正切值相等列式求出再求出然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解得到的值，从而得解．

试题解析：（1）抛物线的对称轴为直线，．

顶点A的坐标为（2，1）；

设对称轴与轴的交点为E．①如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，

;

②如图，过点B作AP的垂线，垂足为F，设点，

在和中，

整理得：解得（舍）．