Question

9．在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于点P（1，m）
（1）求k的值；
（2）若双曲线上存在一点Q与点P关于直线y=x对称，直线y=kx+1与x轴交于点A，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）将P的坐标代入双曲线中求出m的值，然后将P的坐标代入直线解析式中求出k的值．
（2）求出P关于y=x的对称点Q，然后利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后求出点B的坐标，最后利用S_△APQ=S_△APB-S_△AQB即可求出答案．

解答 解：（1）将x=1代入y=$\frac{2}{x}$，
∴y=2，
∴P（1，2）
∴将P（1，2）代入y=kx+1
∴k=1，

（2）易知P（1，2）关于直线y=x的对称点为Q（2，1）
设直线PQ的解析式为：y=kx+b，
将P、Q的坐标代入上式，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直线PQ的解析式为：y=-x+3
设直线PQ与x轴交于点B，
∴令y=0代入y=-x+3
∴x=3，
∴B（3，0）
∴S_△APQ=S_△APB-S_△AQB
=$\frac{1}{2}$×4×（2-1）
=2

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法，本题属于中等题型．