Question

【题目】在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s)，回答下列问题：

（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．

①EF与半圆相切；

②△EOF是等腰三角形．

（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ的最小值与最大值．

Answer 1

【答案】（1）①当EF与半圆相切时，t的值为1－；②当△EOF是等腰三角形时，t的值为或1；（2）1、1+．

【解析】

（1）①如图，设EF与半圆相切于点G，由切线长定理可知ED=EG，FC=FG，在Rt△EHF中，利用勾股定理列出方程即可解决问题；
②分三种情形讨论，分别列出方程求解即可；
（2）①当点P在半圆上时，PQ的最小值为0，此时PQ+OQ的最小值为1．②当点F运动到B时，点P与点O之间的结论最大，当Q与D重合时，PQ+OQ的值最大；

（1）①设EF与半圆相切于点G，

过点E作EH⊥BC，垂足为点H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴OD⊥AD，且AD经过半径OD的外端点D，

∴AD与半圆相切于点D，

同理可证：BC与半圆相切于点C，

∴ED＝EG＝2－t，CF＝FG＝2t，

∴EF＝2＋t，

∵EH⊥BC，垂足为点H，∴∠BHE＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABHE是矩形，

∴EH＝AB＝2，BH＝AE＝t，

∴HF＝2－3t，

在△EHF中，∠EHF＝90°，

∴EH2＋HF2＝EF2，

∴22＋(2－3t)2＝(2＋t)2，

解这个方程，得t1＝1－＜1，t2＝1＋＞1（不合题意，舍去），

∴当EF与半圆相切时，t的值为1－．

②解：在△EDO中，∵∠EDO＝90°，∴OE2＝t2－4t＋5，

同理可证：OF2＝1＋4t2， EF2＝9t2－12t＋8，

第一种情况：当OE＝OF时，则OE2＝OF2，

∴t2－4t＋5＝1＋4t2，

解这个方程，得t1＝＜1，t2＝－2＜0（不合题意，舍去），

第二种情况：当OE＝EF时，则OE2＝EF2，

∴t2－4t＋5＝9t2－12t＋8，此方程无解，

第三种情况：当OF＝EF时，则OF2＝EF2，

∴1＋4t2＝9t2－12t＋8，

解这个方程，得t1＝1，t2＝1.4＞1（不合题意，舍去），

综上所述：当△EOF是等腰三角形时，t的值为或1．

（3）

由题意可知，点P在边CD的垂直平分线上，当运动开始的时候点P在圆周上，随着运动点P向做运动直到停止

当P在圆上时，取P、Q为同一点，PQ+OQ最小为1，

当点F运动到B时，点P与点O之间的结论最大，当Q与D重合时，PQ+OQ的值最大

=+1=1+