Question

如图，点G是△ABC的重心，过G作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作ED∥BC，交AB于点D，若四边形BFED的面积为12，求S_△ABC．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：

分析：连接CG并延长，交AB于H，过点F作FN⊥AB于N，过点C作CM⊥AB于M，由点G是△ABC的重心可得BH=AH，且CG=

2

3

CH．易证△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，△BNF∽△BMC，然后根据相似三角形的性质可求出

EF

AB

、

FN

CM

，从而可求出

S四边形BFED

S△ABC

，根据条件就可求出△ABC的面积．

解答：解：连接CG并延长，交AB于H，过点F作FN⊥AB于N，过点C作CM⊥AB于M，如图，
则有CM∥FN．
∵点G是△ABC的重心，
∴BH=AH，且CG=

2

3

CH．
∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，
∴

GF

HB

=

CF

CB

=

CG

CH

=

2

3

，

GE

HA

=

CG

CH

=

2

3

，
∴

GF

HB

=

GE

HA

，

BF

BC

=1-

CF

CB

=

1

3

．
∵BH=AH，
∴GF=GE，
∴

EF

AB

=

2GF

2HB

=

2

3

．
∵CM∥FN，
∴△BNF∽△BMC，
∴

FN

CM

=

BF

BC

=

1

3

．
∵EF∥AB，ED∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴EF=DB，
∴

S四边形BFED

S△ABC

=

DB•FN

1 2 AB•CM

=

2EF•FN

AB•CM

=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

．
∵S_{四边形BFED}=12，
∴S_△ABC=27．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形重心等知识，利用重心的性质分别求出四边形BFED与△ABC底的比、高的比是解决本题的关键．