Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且点P（-1，-2）为双曲线上的一点，过P作PA垂直x轴于点A：
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）若点Q为直线MO上一动点（不与点M、O重合），过点Q作QB⊥y轴于点B，是否存在点Q，使△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在平面内找一点C，使以O、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出C点坐标．

Answer 1

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，正比例函数的解析式为y=k′x．把点M（-2，-1）分别代入其函数解析式，运用待定系数法即可求出对应的函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，

1

2

x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，

1

2

x）．根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可；
（3）利用在（2）的条件下，在平面内找一点C，使以O、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，结合P，Q坐标以及平行四边形的对边相等，即可得出C点坐标．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），正比例函数的解析式为y=k′x．
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），
∴-1=

k

-2

，-1=-2k′，
∴k=2，k′=

1

2

．
∴正比例函数的解析式为y=

1

2

x，反比例函数的解析式为y=

2

x

．

（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，

1

2

x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，

1

2

x）．
∵S_△OBQ=S_△OAP，
∴

1

2

•x×

1

2

x=

1

2

×2×1，
解得x=±2．
当x=2时，

1

2

x=1；
当x=-2时，

1

2

x=-1．
故在直线MO上存在这样的点Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ与△OAP面积相等．

（3）如图所示：当四边形OPCQ是平行四边形，
∵P（-1，-2），Q（2，1），
∴C点坐标为；（1，-1），
当四边形OPQ′C′是平行四边形，
∵P（-1，-2），Q′（-2，-1），
∴C′点坐标为；（-1，1），
综上所述：使以O、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，C点坐标为：（-1，1），（1，-1）．

点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式及三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．