Question

15．阅读理解：
数学课上，林老师出示了问题，点E、F分别在AB、BC上，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF．经过思考，宁宁提出把△DCF绕点D顺时针旋转90°到△DAH的位置，如图2，由于DC=DA，旋转后DC与DA重合，可以证明H、A、E三点共线，从而得到△DHE与△DFE全等，所以EF=HE=AE+HA=AE+CF．

启发：
明明提出利用轴对称性来解决这一问题，把△DAE沿DE翻折，△DCF沿DF翻折，翻折后点A的对应点和点C的对应点重合与点M，试说明点M必在线段EF上的理由．
解决问题：如图3，四边形ABCD是正方形，在BF上有一点E，若四边形AEFC是菱形，求∠EAB的度数．

Answer 1

分析 启发：由把△DAE沿DE翻折△DME，△DCF沿DF翻折得△DC′F，易得△DAE≌△DME，△DCF≌△DC′F，则可得点A的对应点与点C的对应点重合于点M，且∠DME+∠DMF=180°，继而证得结论；
解决问题：把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH，连接HC，易得AH=AE，∠ABE=∠ADH，∠AEB=∠AHD，由四边形ABCD是正方形，四边形AEFC是菱形，易证得△ADH≌△CDH，则可得△HAC为等边三角形，继而求得答案．

解答 解：启发：理由：如图1，把△DAE沿DE翻折△DME，△DCF沿DF翻折得△DC′F，
则△DAE≌△DME，△DCF≌△DC′F，
∴∠DME=∠DAE=90°，∠DC′F=∠DCF=90°，DM=DA=DC=DC′，
∴点A的对应点与点C的对应点重合于点M，且∠DME+∠DMF=180°，
∴点M必在线段EF上；

解决问题：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADH，连接HC，
则△ABE≌△ADH，
∴AH=AE，∠ABE=∠ADH，∠AEB=∠AHD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴AC∥EF，
∴∠CBE=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ADH=135°，
∵∠ADC=90°，
∴∠HDC=135°，
∴∠ADH=∠HDC，
在△ADH和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HD}\\{∠ADH=∠CDH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴HA=HC，
∵AC=AE，
∴△HAC为等边三角形，∠AHC=60°，
∴∠AHD=∠CHD=∠AEB=30°，
∴∠EAB=180°-∠ABE-∠AEB=15°．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、菱形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．