Question

18．探索与计算：
在△ABC中，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，连接DE．
（1）如图1，若∠A=45°，AB=AC，BC=4，求DE的长．
（2）如图2，若∠A=60°，AB与AC不相等，BC=4，求DE的长．
猜想与证明：
（3）根据（1）（2）所求出的结果，猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系，并证明．
拓展与应用：
（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=5，AC=2$\sqrt{5}$，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，AF⊥BC于点F，求△DEF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；
（2）根据直角三角形的性质得到AE=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AC，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质计算；
（3）根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质解答；
（4）根据（3）的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵BE⊥AC，∠A=45°，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
同理，AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{2}$；
（2）∵BE⊥AC，∠A=60°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
同理，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=2；
（3）猜想：DE=BC•cosA．
证明：∵BE⊥AC，
∴cosA=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=AB•cosA，
同理，AD=AC•cosA，
∴∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=cosA，
∴DE=BC•cosA；
（4）∵AB=BC=5，AC=2$\sqrt{5}$，BE⊥AC，
∴AE=EC=$\sqrt{5}$，
由勾股定理得，BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BC×AF=AC×BE，
∴AF=4，
由勾股定理得，BF=3，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{5}$，cos∠ACB=cos∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=DE=AB•cos∠ACB=$\sqrt{5}$，DF=AC•cos∠ABC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及锐角三角函数的概念是解题的关键．