Question

如图，在直角坐标平面内，O为原点，已知抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），与y轴的交点为B，设此抛物线的顶点为C．
（1）求b的值和C的坐标；
（2）若点C₁与C关于x轴对称，求证：点C₁在直线AB上；
（3）在（2）的条件下，在抛物线y=x²+bx+3的对称轴上是否存在一点D，使四边形OC₁DB是等腰梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），
∴9+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴此抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此抛物线的顶点为C的坐标为（2，-1）；

（2）∵点C₁与C关于x轴对称，
∴点C₁的坐标为（2，1），
∵当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵-2+3=1，
∴点C₁在直线AB上；

（3）存在．
如图1，若BD∥OC₁，
∵直线OC₁的解析式为：y=x，
∴设直线BD的解析式为：y=x+b，
则b=3，
∴直线BD的解析式为：y=x+3，
设点D（a，a+3），
∵AB=C₁D，
∴（a-2）²+（a+3-1）²=9，
∴a=-（不合题意，舍去）或a=2（此题是平行四边形，舍去）；
如图2，当DC₁∥OB，
过点D作DE⊥OB于E，过点C作FC⊥x轴于F，
∵四边形OC₁DB是等腰梯形，
∴BE=CF=1，DE=OF=2，
∴CD=OB-2BE=3-2=1，
∴DF=2，
∴点D的坐标为（2，2）．
故带D的坐标为（2，2）．
分析：（1）由抛物线y=x²+bx+3经过点A（3，0），利用待定系数法即可求得b的值，然后求得此抛物线的解析式，配方，即可求得顶点为C的坐标；
（2）由点C₁与C关于x轴对称，即可求得点C₁的坐标，又由待定系数法求得直线AB的解析式，即可证得点C₁在直线AB上；
（3）分为若BD∥OC₁与DC₁∥OB去分析，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可求得点D的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的性质，平行线的性质以及点与函数的关系．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．