Question

直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．
①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；
②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
③点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，为何值时点P、C、D恰好能组成一个等腰三角形？

Answer 1

（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=时，△PCD均为等腰三角形.

解析试题分析：（1）由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；
（2）设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），首先求出x_M=﹣t+3，再求出x_N=t﹣9，进而得到d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）由A和B的坐标可求出AB的长，再分三种情况分别讨论求出符合题意的t值即可．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），
∵四边形ABCD是菱形，
∴点C的坐标为（﹣5，4），点D的坐标为（﹣2，0），
∵直线y=x+m经过点C，
∴m=9，
（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，
∴可设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），
∵点M在直线AB上，
直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴t=，得x_M=﹣t+3，
同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t﹣9，
∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，
∴d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴点A 的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=5，
∴点P运动到点B时，△PCD即为△BCD是一个等腰三角形，此时=4；
∵点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，
∴OP=t，PB=|t﹣4|，
∵点D的坐标为（﹣2，0），
∴OD=2，由勾股定理得PD²=OD²+OP²=4+t²，
同理，CP²=BC²+BP²=25+（t﹣4）²，
当PD=CD=5时，PD²=4+t²=25，
∴t=（舍负），
当PD=CP时，PD²=CP²，4+t²=25+（t﹣4）²，
∴t=，
综上所述，t=4，或t=，t=时，△PCD均为等腰三角形．

考点：一次函数综合题