【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是直线BC、AC上的点,且BD=CE.
(1)如图①,当点D、E分别在线段BC、AC上时,BE与AD相交于点F.求∠AFB的度数.
(2)如图②,当点D在CB的延长线上,点E在AC的延长线上时,CF为△ABC的高线则线段CD、AF、CE、之间的数量关系是 ,并加以证明.
(3)在①的条件下,连接FC,如图③,若∠DFC=90°,AF= 3,求BF的长.
【答案】(1)120°;(2) ;(3).
【解析】
(1)根据等边三角形的性质直接利用SAS证明△ABD≌△BCE,得到∠BAD=∠CBE,然后根据三角形内角和定理可求∠AFB的度数;
(2)根据等边三角形的性质直接利用SAS证明△ABD≌△BCE,得到BD=CE,然后根据等边三角形三线合一的性质可得BC=2AF,易得CD=BC+BD=2AF+CE;
(3)将△ABF绕点B顺时针旋转60°得到△CBM,连接FM,根据旋转的性质可得△BMF为等边三角形,求出A、F、M三点共线,∠FMC=60°,结合∠DFC=90°,利用含30度直角三角形的性质可求出MF,然后可得BF.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE,
∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°,
∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°,
∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°,
∴∠AFB=120°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠BCE,
∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴BD=CE,
∵CF为△ABC的高线,
∴AB=2AF,即BC=2AF,
∴CD=BC+BD=2AF+CE;
(3)如图,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得到△CBM,连接FM,
则BF=BM,∠FBM=60°,
∴△BMF为等边三角形,
∴∠BFM=60°,
∵∠AFB=120°,
∴A、F、M三点共线,∠BMC=∠AFB=120°,
∴∠FMC=∠BMC-∠BMF=120°-60°=60°,
∵∠DFC=90°,AF=,
∴MC=AF=,
∴,
∴.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,请写出图中两对“等角三角形”.
(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°。求证:CD为△ABC的等角分割线.
(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的等角分割线,若△ACD是等腰三角形,请直接写出∠ACB的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是正方形,直线a,b,c分别通过A、D、C三点,且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5,b与c之间的距离是7,则正方形ABCD的面积是( )
A.70B.74C.144D.148
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E为AB的中点,将△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF,连接EF,则EF的长为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s).
(1)若△BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;
(2)若△BDE为直角三角形,求t的值;
(3)当S△BCE≤时,求所有满足条件的t的取值范围(所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=2﹣).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com