Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点，且BD=CE.

(1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F.求∠AFB的度数.

(2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线则线段CD、AF、CE、之间的数量关系是 ,并加以证明.

(3)在①的条件下，连接FC，如图③，若∠DFC=90°，AF= 3，求BF的长.

Answer 1

【答案】(1)120°;(2) ;（3）.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质直接利用SAS证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD＝∠CBE，然后根据三角形内角和定理可求∠AFB的度数；

（2）根据等边三角形的性质直接利用SAS证明△ABD≌△BCE，得到BD=CE，然后根据等边三角形三线合一的性质可得BC=2AF，易得CD=BC+BD=2AF+CE；

（3）将△ABF绕点B顺时针旋转60°得到△CBM，连接FM，根据旋转的性质可得△BMF为等边三角形，求出A、F、M三点共线，∠FMC＝60°，结合∠DFC=90°，利用含30度直角三角形的性质可求出MF，然后可得BF.

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠AFB＋∠BAD＋∠ABF＝180°，

∴∠AFB＋∠CBE＋∠ABF＝180°，

∵∠CBE＋∠ABF＝∠ABC＝60°，

∴∠AFB＝120°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABD＝∠BCE，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴BD=CE，

∵CF为△ABC的高线，

∴AB=2AF，即BC=2AF，

∴CD=BC+BD=2AF+CE；

（3）如图，将△ABF绕点B顺时针旋转60°得到△CBM，连接FM，

则BF=BM，∠FBM＝60°，

∴△BMF为等边三角形，

∴∠BFM＝60°，

∵∠AFB＝120°，

∴A、F、M三点共线，∠BMC＝∠AFB＝120°，

∴∠FMC＝∠BMC－∠BMF＝120°－60°＝60°，

∵∠DFC=90°，AF=，

∴MC=AF=，

∴，

∴.