Question

【题目】y＝﹣2x+4直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，交x轴于另一点C，如图所示．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+8x﹣12；（2）① ；②t的值为1﹣或

【解析】

（1）先由直线解析式求得点A、B的坐标，将点A坐标代入抛物线解析式可求出m的值，从而得出答案；

（2）①由（1）可求得AD＝CD＝2，继而得∠DAC＝∠DCA，由BD∥AC可得∠DPE＝∠PQA，再结合已知∠DPE＝∠DAC，可证明四边形PDQC是平行四边形，∴PD＝QC

于是得出关于t的方程4﹣2t＝3t，解方程即可；

②分点N在AB上和点N在AD上两种情况进行讨论求解. 当点N在AB上时，先用t表示出PN＝2BP＝4t＝ME，再依次表示出DE＝，AE＝2﹣2t，再由BD∥OC得，代入即得，解出方程即可（注意取舍）；点N在AD上时，先证明点E、N重合，得PQ⊥BD，于是BP＝OQ，由此可得关于t的方程，解出即得结果.

解：（1）当x＝0时，y＝4，

∴点B坐标（0，4）

当y＝0时，x＝2

∴点A（2，0）

∵抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m＞0）经过点A，

∴0＝﹣（2﹣m）（2﹣6）

∴m1＝2，m2＝0（不合题意舍去）

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12

（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，

∴顶点D（4，4）

∵点B坐标（0，4）

∴BD∥OC，BD＝4，

∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C

∴点C（6，0），点A（2，0）

∴AC＝4

∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0）

∴AD＝CD＝2，

∴∠DAC＝∠DCA

∵BD∥AC

∴∠DPE＝∠PQA，

且∠DPE＝∠DAC

∴∠PQA＝∠DAC

∴∠PQA＝∠DCA

∴PQ∥DC，且BD∥AC

∴四边形PDQC是平行四边形

∴PD＝QC

∴4﹣2t＝3t

∴t＝

②如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1

∵BD∥OC

∴∠DBA＝∠OAB，

∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4）

∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4

∴∠ABD＝∠ADB，

∴tan∠OAB＝＝tan∠DBA＝

∴PN＝2BP＝4t，

∴ME＝PN＝4t，

∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2

∴MD＝2t

∴DE＝

∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2t

∵BD∥OC

∴

∴

∴5t2﹣10t+4＝0

∴t1＝1+（不合题意舍去），t2＝1﹣

如图，若点N在AD上，即1＜t

∵PN＝EM，

∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，

∴BP＝OQ，

∴2t＝6﹣3t，

解得：t＝，

综上所述：当PN＝EM时，t的值为1﹣或．