Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E从点A出发沿着线段AB向终点B运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作EF⊥AB交直线AC于点F，连结CE．设点E的运动时间为t秒．

（1）当点F在线段AC上（不含端点）时，

①求证：△ABC∽△AFE；

②当t为何值时，△CEF的面积为1.2；

（2）在运动过程中，是否存在某时刻t，使△CEF为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②秒或1秒；（2）存在，秒或秒

【解析】

（1）①根据相似三角形的判定解答即可；

②过点 C 作 CH⊥AB 于 H，利用相似三角形的性质和三角形面积公式解答即可；

（2）根据等腰三角形的判定分两种情况解答．

解：（1）当点 F 在线段 AC 上时，

①证明如下：∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°

在△ABC 中，∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AEF 又∵∠A＝∠A

∴△ABC∽△AFE

②当 t 秒时，AE＝3t， 由①得△ABC∽△AFE

∴，即，

∴FE＝4t

在 Rt△ABC 中，AB＝，

过点 C 作 CH⊥AB 于 H，如图 1：

由面积法可得：

∴

∴

＝

．

令，

解得：，

经检验，符合题意．

答：当 t 为秒或 1 秒时，△CEF 的面积为 1.2．

（2）存在，理由如下：

i）当点 F 在线段 AC 上时（0＜t＜），

∵∠CFE＝∠AEF+∠A＞90°，

∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是 FC＝FE，

由②可知：FE＝4t，

∴AF＝5t，FC＝4t，

∴5t+4t＝6，

∴t＝．

ii）当点 F 在线段 AC 的延长线上时（＜t），如图 2，

∵∠FCE＝∠FCB+∠ECB＞90°，

∴当△CEF 为等腰三角形时，只能是 FC＝EC，

此时∠F＝∠CEF，

∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°，即∠CEA+∠CEF＝90°， 又∠F+∠A＝90°

∴∠CEA＝∠A，

∴CE＝AC＝6，

∴FC＝6，

∴AF＝12， 即 5t＝12

∴

综上所述，t 的值为秒或秒时，△CEF 为等腰三角形．