Question

7．直线y₁=kx+$\sqrt{2}$与反比例函数y₂=$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}$的图象交于点A、B，与坐标轴分别交于C、D两点，且AC=CD．
（1）求k的值；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）请直接写出：当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先过A作AE⊥x轴于E，根据AC=CD，可得AE=2CO=2$\sqrt{2}$，利用反比例函数可得A（1，2$\sqrt{2}$），再代入直线y₁=kx+$\sqrt{2}$即可得到k的值；
（2）先求得D（-1，0），B（-2，-$\sqrt{2}$），再根据S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD进行计算即可；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的自变量x的取值范围进行判断即可．

解答 解：（1）如图，过A作AE⊥x轴于E，则CO∥AE，
在直线y₁=kx+$\sqrt{2}$中，令x=0，则y=$\sqrt{2}$，即C（0，$\sqrt{2}$），
∵AC=CD，
∴AE=2CO=2$\sqrt{2}$，
在反比例函数y₂=$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}$中，令y=2$\sqrt{2}$，则2$\sqrt{2}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{x}$，
∴x=1，即A（1，2$\sqrt{2}$），
把A（1，2$\sqrt{2}$）代入y₁=kx+$\sqrt{2}$，可得2$\sqrt{2}$=k+$\sqrt{2}$，
∴k=$\sqrt{2}$；

（2）如图所示，由0=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$，可得x=-1，
∴D（-1，0），即DO=1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+\sqrt{2}}\\{y=\frac{2\sqrt{2}}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴B（-2，-$\sqrt{2}$），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；

（3）∵A（1，2$\sqrt{2}$），B（-2，-$\sqrt{2}$），
∴当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围为x＞1或-2＜x＜0．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．反比例函数与一次函数的交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于（或小于）反比例函数值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．