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    如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

    （1）求抛物线的函数解析式．
    （2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
    （3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
    ，解得：。
    ∴函数解析式为：y=x2+2x。
    （2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
    若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3）；
    若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）。
    综上所述，点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）。
    （3）存在。
    如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

    根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20
    ∴BO2+CO2=BC2。∴△BOC是直角三角形。
    假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
    ①若△AMP∽△BOC，则，即。
    ∴x+2=3（x2+2x），解得：x1=，x2=﹣2（舍去）。
    当x=时，y=，即P（，）。
    ②若△PMA∽△BOC，则，即。
    ∴x2+2x=3（x+2），解得：x1=3，x2=﹣2（舍去）。
    当x=3时，y=15，即P（3，15）。
    ∴符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。

    试题分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式。
    （2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标。
    （3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

    （1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A　   　，k=　   　；
    （2）随着三角板的滑动，当a=时：
    ①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；
    ②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
    （3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。

    （1）求证：CD是⊙M的切线；
    （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
    （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．

    （1）求该二次函数的解析式；
    （2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
    （3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，
    ①求t的值；
    ②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （2013年浙江义乌10分）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）．
    （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；
    （2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．请你求出符合条件的抛物线解析式；
    （3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （2013年四川南充8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.

    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
    （3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

    （1）求D点的坐标；
    （2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
    （3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

    （1）当t=　   　时，点P与点Q相遇；
    （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
    （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
    ①求s与ι之间的函数关系式；
    ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的
    △APD与△PCQ重叠部分的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．

    （1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；
    （2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；
    （3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．

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