Question

11．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；
（3）将抛物线向右平移h（h＞0）个单位，所得新抛物线与x轴交于点A₁、B₁，与原抛物线的交点为P，连结PA₁、PB₁，当△PA₁B₁的面积为2时，求此时h的值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，设点M的坐标为（1，m）．依据两点间的距离公式可知：AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，CM=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，然后分为AC=CM、AM=CM、AC=AM三种情况列方程求解即可；
（3）先求得AB的长，然后依据平行的性质可得到A₁B₁=AB=4，依据三角形的面积公式可求得p_y=1或p_y=-1．将y=1和y=-1分别代入抛物线的解析式，从而可求得点P平移前后的坐标，由点P平移前和平移后的坐标可确定出平移的距离．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将点C的坐标代入得：-3a=-3，解得a=1，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，设点M的坐标为（1，m）．
依据两点间的距离公式可知：AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，CM=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$．
当AC=AM时，$\sqrt{10}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，解得m=±$\sqrt{6}$，
∴点M的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
当AC=CM时，$\sqrt{10}$=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，解得：m=0或m=-6，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，-6）．
当AM=CM时，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，解得m=1，
∴点M的坐标为（1，1）．
综上所述，点M的坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，-6）或（1，1）．

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4．
由平移的性质可知A₁B₁=AB=4．
∵△△PA₁B₁的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$A₁B₁•|p_y|=2，即$\frac{1}{2}$×4×|p_y|=2，解得|p_y|=1．
∴p_y=1或p_y=-1．
将y=1代入得：x²-2x-3=1，解得：x=$\sqrt{5}$+1或x=-$\sqrt{5}$+1．
∴点P的坐标为（$\sqrt{5}$+1，1），平移前点P的对应点的坐标为（-$\sqrt{5}$+1，1）
∴h=（$\sqrt{5}$+1）-（-$\sqrt{5}$+1）=2$\sqrt{5}$．
将y=-1代入得：x²-2x-3=-1，解得：x=$\sqrt{3}$+1或x=-$\sqrt{3}$+1．
∴点P的坐标为（$\sqrt{3}$+1，1），平移前点P的对应点的坐标为（-$\sqrt{3}$+1，1）
∴h=（$\sqrt{3}$+1）-（-$\sqrt{3}$+1）=2$\sqrt{3}$．
综上所述，当h=2$\sqrt{5}$或h=2$\sqrt{3}$时，△PA₁B₁的面积为2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题只要应用了待定系数法求二次函数的解析式，依据两点间的距离公式列出关于m的方程是解答问题（2）的关键，求得点P的坐标，从而确定出平移前点P的对应点的坐标是解答问题（3）的关键．