Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴、x轴分别交于点A、B，若点C是x轴负半轴上一点，当AB=BC时，若点P是l上一动点，点N在坐标轴上，当以A，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点P，N的坐标．

Answer 1

分析 当以A，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形时．首先根据题意，分四种情况：①在平行四边形ACP₁N₁中，设P₁（-2，y₁），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₁的坐标，然后根据平行四边形的性质求得N₁的坐标；②在平行四边形ACN₂P₂中，设P₂（2，y₂），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₂的坐标，然后根据平行四边形的性质求得N₂的坐标；③在平行四边形ACP₃N₃中，设P₃（x₃，-4），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₃的坐标，然后根据平行四边形的性质求得N₃的坐标；④在平行四边形AN₄CP₄中，根据P₁、N₂的坐标即可求得P₄、N₄的坐标．

解答 解：∵直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+4与y轴、x轴分别交于点A、B，
∴A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴AB=BC，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
在平行四边形ACP₁N₁中，设P₁（-2，y₁），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得y₁=$\frac{20}{3}$，
∴P₁C=$\frac{20}{3}$，
∴ON₁=4+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴P₁（-2，$\frac{20}{3}$），N₁（0，$\frac{32}{3}$）；
在平行四边形ACN₂P₂中，设P₂（2，y₂），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得y₂=$\frac{4}{3}$，
∵OA-y₂=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴P₂（2，$\frac{4}{3}$），N₂（0，-$\frac{8}{3}$）；
在平行四边形ACP₃N₃中，设P₃（x₃，-4），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得，-4=-$\frac{4}{3}$x₃+4
解得x₃=6，
∵DN₃=OC=2，
∴ON₃=6+2=8，
∴P₃（6，-4），N₃（8，0）；
在平行四边形AN₄CP₄中，P₄（-2，$\frac{20}{3}$），N₄（0，-$\frac{8}{3}$）．
综上，当以A，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标为（-2，$\frac{20}{3}$），N的坐标为（0，$\frac{32}{3}$）或点P的坐标为（2，$\frac{4}{3}$），N的坐标为（0，-$\frac{8}{3}$）或点P的坐标为（6，-4），N的坐标为（8，0）或点P的坐标为（-2，$\frac{20}{3}$），N的坐标为（0，-$\frac{8}{3}$）．

点评 此题是一次函数综合题，考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，函数关系式等知识点，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．