Question

（2013•怀化）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面积为16cm²，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠A=45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由正方形DEFG的面积为16cm²可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长．

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠BFG=∠AED=90°，
故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，
∵在△ADE与△BGF中，

∠BFG=∠AED GF=DE ∠BGF=∠ADE

，
∴△ADE≌△BGF（ASA）；


（2）解：过点C作CG⊥AB于点H，
∵正方形DEFG的面积为16cm²，
∴DE=AE=4cm，
∴AB=3DE=12cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=

1

2

×12=6cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=AE=4cm，
∴AD=

AE2+DE2

=

42+42

=4

2

cm，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴△ADE∽△ACH，
∴

AE

AH

=

AD

AC

，

4

6

=

4 2

AC

，
解得AC=6

2

cm．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．