Question

【题目】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，且AD=2，AC=BC=.

（1）证明：△ACE≌△BCD；

（2）求四边形ADCE的面积；

（3）求ED的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9；（3）

【解析】

（1）根据△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，可得：CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，再根据等式的基本性质即可得出：∠ACE=∠BCD，利用SAS即可证出△ACE≌△BCD；

（2）根据（1）中全等，四边形ADCE的面积=△ACE的面积＋△ACD的面积=△BCD的面积＋△ACD的面积=△ACB的面积，故计算出△ACB的面积即可；

（3）根据勾股定理即可算出AB的长，从而计算出BD的长，再根据（1）的△ACE≌△BCD即可得EA=BD，∠EAC=∠DBC=45°，从而得到∠EAD=90°，最后根据勾股定理即可算出ED的长.

解：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°

∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD

∴∠ACE=∠BCD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）∵△ACE≌△BCD

∴S△ACE=S△BCD

∴S四边形ADCE =S△ACE＋S△ACD =S△BCD＋S△ACD =S△ACB

∵AC=BC=

∴S△ACB=

∴S四边形ADCE =9

（3）根据勾股定理：

∴BD=AB－AD=4

∵△ACE≌△BCD

∴EA=BD=4，∠EAC=∠DBC

∵△ACB是等腰直角三角形

∴∠BAC=∠DBC=45°

∴∠EAD=∠EAC＋∠BAC=∠DBC＋∠BAC=90°

在Rt△EAD中

根据勾股定理：