Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S_{四边形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP，
当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有________个．并请证明你认为正确的命题．

Answer 1

3
分析：由于AB=AC，∠BAC=90°，AP为斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，则∠EAP=∠FCP，根据等角的余角相等有∠EPA=∠FPC，根据全等三角形的判定可证得△EPA≌△FPC（ASA），则AE=CF，EP=FP，可判断①正确；并且有△EPF是等腰直角三角形，可判断②正确；四边形AEPF的面积等于△APC的面积，即可得到2S_{四边形AEPF}=S_△ABC，可判断③正确；由等腰直角三角形的性质有EF=PF，而只有F点为AC的中点时，AP=PF，即点F为AC的中点时有EF=AP，于是可判断④不一定正确．
解答：解：当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有3个．
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵P为边BC的中点，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠FCP，
又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中

∴△EPA≌△FPC（ASA），
∴AE=CF，EP=FP，所以①正确；
∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确；
∴四边形AEPF的面积等于△APC的面积，
∴2S_{四边形AEPF}=S_△ABC，所以③正确；
又∵EF=PF，
而只有F点为AC的中点时，AP=PF，
即点F为AC的中点时有EF=AP，所以④不一定正确．
所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②③，共3个．
故答案为3．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．