Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x²+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD=$\frac{3}{8}$S_{四边形ACBD}时，求D点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）先求得A、C两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求得AB的长，然后依据S_△ACD=$\frac{3}{8}$S_{四边形ACBD}，求得AE的长，可得到E的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0），利用待定系数法可求得CE的解析式，然后CE的解析式与抛物线的解析式联立可求得点D的坐标；
（3）过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．先求得BC和DE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后可证明BC=BE，然后可证明△PCB≌△QEB，得到∠BPC=∠Q，依据题意可得到∠DBE=∠DGB．接下来，在证明∠PBD=90°，∠DBN=45°，然后可求得∠PBM=45°，设点P的坐标为（a，a²+2a-3），则BM=1-a，PM=-a²-2a+3然后依据PM=MB可求得a的值，则可得到点P的坐标，然后可证明EF∥x轴，最后将点F的纵坐标代入抛物线的解析式可求得点F的横坐标，最后依据EF=x_E-x_F求解即可．

解答 解：（1）∵令x=0得：y=-3，
∴C（0，-3）．
令y=0得：-x-3=0，解得x=-3，
∴A（-3，0）．
将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的：$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．
（2）如图1所示：

令y=0得：x²+2x-3=0，解得x=-3或x=1．
∴AB=4．
∵S_△ACD=$\frac{3}{8}$S_{四边形ACBD}，
∴S_△ADC：S_△DCB=3：5．
∴AE：EB=3：5．
∴AE=4×$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{2}$．
∴点E的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．
设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=-3．
∴直线CE的解析式为y=-2x-3．
将y=-2x-3与y=x²+2x-3联立，解得：x=-4或x=0（舍去），
将x=-4代入y=-2x-3得：y=5．
∴点D的坐标为（-4，5）．
（3）如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=3，b=-3．
∴直线BC的解析式为y=3x-3．
设直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+n，将点D的坐标代入得：-$\frac{1}{3}$×（-4）+n=5，解得n=5-$\frac{4}{3}$=$\frac{11}{3}$．
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{11}{3}$．
将y=3x-3与y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{11}{3}$联立解得：x=2，y=3．
∴点E坐标为（2，3）．
依据两点间的距离公式可知：BC=CE=$\sqrt{10}$．
∵点P与点Q关于点B对称，
∴PB=BQ．
在△PCB和△QEB中$\left\{\begin{array}{l}{PB=QB}\\{∠EBQ=∠CBP}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△QEB．
∴∠BPC=∠Q．
又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG
∴∠DBE=∠DGB．
又∵∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．
∵D（-4，5），B（1，0），
∴DM=NB．
∴∠DBN=45°．
∴∠PBM=45°．
∴PM=MB
设点P的坐标为（a，a²+2a-3），则BM=1-a，PM=-a²-2a+3．
∴1-a=-a²-2a+3，解得：a=-2或a=1（舍去）．
∴点P的坐标为（-2，3）．
∴PC∥x轴．
∵∠Q=∠BPC，
∴EQ∥PC．
∴点E与点F的纵坐标相同．
将y=3代入抛物线的解析式得：x²+2x-3=3，解得：x=-1-$\sqrt{7}$或x=-1+$\sqrt{7}$（舍去）．
∴点F的坐标为（-1$-\sqrt{7}$，3）．
∴EF=2-（-1-$\sqrt{7}$）=3+$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，求得DC与x轴交点的坐标是解答问题（2）的关键，证得△PBM为等腰直角三角形，从而可求得点P的坐标是解答问题（3）的关键．