Question

【题目】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB

(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE

(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，图形及理由见解析.

【解析】

（1）先证明△ABD≌△FCD，然后利用平行及角平分线证明AE=EF，最后结合全等的性质即可证明结论；

（2）当点E和点C重合时，AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，然后过点D向另外两边作垂线DM和DN，证三角形△BDM和△CDN全等，得到∠B=∠C，即可得到三角形形状.

（1）证明：∵点D是边BC的中点，

∴BD=CD，

∵CE∥AB，

∴∠BAD=∠F，

在△ABD和△FCD中，,

∴△ABD≌△FCD（AAS），

∴AB=CF，

∵AD平分∠EAB，

∴∠BAD=∠DAE，

∴∠F=∠DAE，

∴AE=EF，

∵CF=CE+EF，

∴AB=CE+AE；

（2）解：△ABC为等腰三角形，图形及理由如下：

过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，

∵AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，且DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，

∵点D是边BC的中点，

∴BD=CD，

在Rt△BDM和Rt△CDN中，，

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形.