Question

8£®Ð¡Ã÷ÔÚ½â¾öÎÊÌ⣺ÒÑÖª$a=\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}$£¬Çó2a²-8a+1µÄÖµ£®ËûÊÇÕâÑù·ÖÎöÓë½âµÄ£º
¡ß$a=\frac{1}{{2+\sqrt{3}}}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{£¨2+\sqrt{3}£©£¨2-\sqrt{3}£©}}=2-\sqrt{3}$£¬
¡à$a-2=-\sqrt{3}$£¬
¡à£¨a-2£©²=3£¬a²-4a+4=3£¬
¡àa²-4a=-1£¬
¡à2a²-8a+1=2£¨a²-4a£©+1=2¡Á£¨-1£©=-1£®
ÇëÄã¸ù¾ÝСÃ÷µÄ·ÖÎö¹ý³Ì£¬½â¾öÈçÏÂÎÊÌ⣺
£¨1£©»¯¼ò$\frac{1}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}+¡­+\frac{1}{{\sqrt{121}+\sqrt{119}}}$£®
£¨2£©Èô$a=\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}$£®Çó£º
¢ÙÇó3a²-6a+1µÄÖµ£®
¢ÚÖ±½Óд³ö´úÊýʽµÄÖµa³-3a²+a+1=0£»$2{a^2}-5a+\frac{1}{a}+2$=2£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©½«Ô­Ê½·ÖĸÓÐÀí»¯ºó£¬µÃµ½¹æÂÉ£¬ÀûÓùæÂÉÇó½â£»
£¨2£©½«a·ÖĸÓÐÀí»¯µÃa=$\sqrt{2}$+1£¬ÒÆÏƽ·½µÃµ½a²-2a=1£¬±äÐ΢٣¬¢Úºó´úÈëÇóÖµ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©Ô­Ê½=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+¡­+$\frac{\sqrt{121}-\sqrt{119}}{2}$
=$\frac{1}{2}$¡Á£¨$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+¡­+11-$\sqrt{119}$£©
=$\frac{1}{2}$£¨-1+11£©
=5£»
£¨2£©¢Ù¡ßa=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{£¨\sqrt{2}-1£©£¨\sqrt{2}+1£©}$=$\sqrt{2}$+1£¬
¡àa-1=$\sqrt{2}$£¬
¡àa²-2a+1=2£¬
¡àa²-2a=1
¡à3a²-6a=3
¡à3a²-6a+1=4£»
¢Ú¡ßa³-3a²+a+1
=a³-2a²-a²+a+1=a£¨a²-2a£©-a²+a+1
¡ßa²-2a=1
¡àԭʽ=a-a²+a+1=-£¨a²-2a£©+1=-1+1=0£»
¡ß$2{a^2}-5a+\frac{1}{a}+2$=2a²-4a-$\frac{{a}^{2}-2a-1}{a}$£¬
¡ßa²-2a=1
¡àԭʽ=2-0=2£®
¹Ê´ð°¸Îª£º0£¬2£®

µãÆÀ ±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²éÁË·ÖĸÓÐÀí»¯¡¢Íêȫƽ·½¹«Ê½ÒÔ¼°´úÊýʽµÄ±äÐΣ¬±äÐθ÷ʽºóÀûÓÃa²-2a=1£¬Êǽâ¾ö±¾ÌâµÄ¹Ø¼ü£®