Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=

2

5

，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析：（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，用全等三角形得出；
（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．

解答：（1）证明：
方法1：
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，

∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA

∴△CFO≌△AEO．
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

方法2：证△AEO≌△CFO同方法1，
∴CF=AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=

1

2

EF=

1

2

×4=2．
在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=

OE

OA

=

2

5

，
∴OA=5，
∴AC=2AO=2×5=10．
∴S_菱形AECF=

1

2

EF•AC=

1

2

×4×10=20．

点评：本题主要考查三角形全等的判定及性质、菱形的判定、面积计算及三角函数等知识，考查推理论证的能力．