Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求二次函数解析式；

（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．

（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）MQ的最大值为16；（3）N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．理由见解析.

【解析】

（1）把A点坐标为（-3，0）、点C坐标为（0，-6）代入二次函数表达式，解得：a=1，c=-6，故：二次函数解析式为y=x2+x-6；

（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），MQ=yM-yQ=-3m+6-（m2+m-6）=-（m+2）2+16，即可求解；

（3）①当BC边为菱形的边时，N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（-2，0）；②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，直线BD与直线MH交点即为M坐标为，即可求解．

（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，

解得：a＝1，c＝﹣6，

故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；

（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），

点B、D坐标所在的直线方程为：y＝﹣3x+6，

则：点M坐标为（m，﹣3m+6），点Q为（m，m2+m﹣6），

∴MQ＝yM﹣yQ＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，

在﹣6≤m≤2时，函数顶点处，取得最大值，

即MQ的最大值为16；

（3）①当BC边为菱形的边时，

情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），

情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），

情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；

②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，

则直线DB与MH的交点为M，M关于BC的对称点为N，H为BC的中点，

∴H坐标为（1，﹣3），

直线BD的方程为：y＝﹣3x+6，直线MH的方程为：y=-x-，

联立以上两个方程，解得：M坐标为（，﹣），

同理得N坐标为（﹣，﹣），

故：N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．