Question

5．如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点D处，则点F的坐标为（4，$\frac{21}{32}$）．

Answer 1

分析 过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=DF，易证Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，得到EM=4-$\frac{k}{3}$，MF=3-$\frac{k}{4}$，即可得$\frac{EM}{MF}$的比值；故可得出EM：MB=ED：MF=4：3，而ED=3，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．

解答 解：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=MF，
∴∠DME+∠FMB=90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，
∴EM=4-$\frac{k}{3}$，MF=3-$\frac{k}{4}$，
∴$\frac{EM}{MF}$=$\frac{4-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{4}}$=$\frac{4}{3}$；
∴ED：MB=EM：MF=4：3，而ED=3，
∴MB=$\frac{9}{4}$，
在Rt△MBF中，MF²=MB²+MF²，即（3-$\frac{k}{4}$）²=（$\frac{9}{4}$）²+（$\frac{k}{4}$）²，
解得k=$\frac{21}{8}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{21}{8x}$，
把x=4代入得y=$\frac{21}{32}$，
∴F点的坐标为（4，$\frac{21}{32}$）．
故答案为（4，$\frac{21}{32}$）．

点评 本题涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，难度适中．