【题目】已知:在中,作对角线的垂直平分线,垂足为点,分别交,于点,,连接,.
(1)如图1,求证:四边形是菱形;
(2)如图2,当,且时,在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四条线段,使写出的每条线段长度都等于长度的倍.
【答案】(1)见解析;(2),,,
【解析】
(1)证明,得到OE=OF,再结合OB=OD得出结论;
(2)证明Rt△ABE≌Rt△OBE,AB=OB,∠ABE=∠OBE=∠OBF,从而推出∠OBE=30°,再根据直角三角形的性质以及矩形和菱形的性质得到OB=OE=OD=AB=CD即可.
解:(1)证明:如图1,∵四边形是平行四边形,
∴
∴,
在和中,
,
∴(ASA),
∴,
又∵,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴为菱形;
(2)如图2,,,,,
∵AE=OF,四边形BFDE为菱形,
∴OE=OF=AE,∠EOB=90°,
在Rt△ABE和Rt△OBE中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△OBE(HL),
∴AB=OB,∠ABE=∠OBE=∠OBF,
∵∠ABC=90°,
∴∠OBE=30°,
∴2OE=BE,
∴OB=OE=OD=AB=CD,
故答案为:OB,OD,AB,CD.
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【题目】矩形ABCD中,点P在对角线BD上(点P不与点B重合),连接AP,过点P作PE⊥AP交直线BC于点E.
(1)如图1,当AB=BC时,猜想线段PA和PE的数量关系: ;
(2)如图2,当AB≠BC时.求证:
(3)若AB=8,BC=10,以AP,PE为边作矩形APEF,连接BF,当PE=时,直接写出线段BF的长.
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【题目】如图所示,菱形AOBC的顶点B在y轴上,顶点A在反比例函数y=的图象上,边AC,OA分别交反比例函数y=的图象于点D,点E,边AC交x轴于点F,连接CE.已知四边形OBCE的面积为12,sin∠AOF= ,则k的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】在抗击新冠状病毒战斗中,有152箱公共卫生防护用品要运到、两城镇,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批防护用品,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其中用大货车运往、两城镇的运费分别为每辆800元和900元,用小货车运往、两城镇的运费分别为每辆400元和600元.
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往城镇,其余货车前往城镇,设前往城镇的大货车为辆,前往、两城镇总费用为元,试求出与的函数解析式.若运往城镇的防护用品不能少于100箱,请你写出符合要求的最少费用.
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【题目】为满足市场需求,某超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个.
(1)若每个粽子售价4.5元,则每天的销量是______个;
(2)为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.
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【题目】如图,已知等边三角形,顶点在双曲线上,点的坐标为.过作交双曲线于点,过作交轴于点,得到第二个等边;过作交双曲线于点,过作交轴于点,得到第三个等边;以此类推,... 则点的坐标为____.
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【题目】(问题)用n个2×1矩形,镶嵌一个2×n矩形,有多少种不同的镶嵌方案?(2×n矩形表示矩形的邻边是2和n)
(探究)不妨假设有an种不同的镶嵌方案.为探究an的变化规律,我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单情形入手,再逐次递进,最后猜想得出结论.
探究一:用1个2×1矩形,镶嵌一个2×1矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
如图(1),显然只有1种镶嵌方案.所以,a1=1.
探究二:用2个2×1矩形,镶嵌一个2×2矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
如图(2),显然只有2种镶嵌方案.所以,a2=2.
探究三:用3个2×1矩形,镶嵌一个2×3矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
一类:在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形,有1种镶嵌方案;
二类:在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形,有2种镶嵌方案;
如图(3).所以,a3=1+2=3.
探究四:用4个2×1矩形,镶嵌一个2×4矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
一类:在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形,有 种镶嵌方案;
二类:在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形,有 种镶嵌方案;
所以,a4= .
探究五:用5个2×1矩形,镶嵌一个2×5矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
(仿照上述方法,写出探究过程,不用画图)
……
(结论)用n个2×1矩形,镶嵌一个2×n矩形,有多少种不同的镶嵌方案?
(直接写出an与an﹣1,an﹣2的关系式,不写解答过程).
(应用)用10个2×1矩形,镶嵌一个2×10矩形,有 种不同的镶嵌方案.
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【题目】如图,把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,点C(-1,0),点B在反比例函数的图像上,且y轴平分∠BAC,则k的值是_________.
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【题目】如图,是的直径,点是弧上一点,且,与交与点.
(1)求证:是的切线;
(2)若平分,求证:;
(3)在(2)的条件下,延长,交于点,若,,求的长和的半径.
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