Question

【题目】在正方形中，点是边上的动点，连接．

（1）如图1，点在的延长线上，且．

①求证：；

②如图2，将绕点逆时针旋转得到对应，射线交于，交于，连接，试探究与之间的数量关系．

（2）如图3，若，点是边上的动点，且，连接，直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）

【解析】

（1）①欲证明DF=BE，只要证明△BCE≌△DCF（SAS）即可．
②证明△DCJ∽△FMJ，推出，推出△JMC∽△JFD，可得，推出DF=2CM可得结论．
（2）如图3中，连接AE，延长BC到T，使得CT=BC，连接AT．想办法证明DF=AE，BE=ET，推出DF+BE=AE+ET．根据AE+ET≥AT，利用勾股定理求出AT即可解决问题．

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，

∵CE=CF，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF．

②解：结论：HG=2CM．

理由：如图2中，设DH交BC于J．

∵∠DCG=30°，∠DCF=90°，

∴∠GCF=120°，

∵CG=CF，

∴∠CFG=∠CGF=30°，

∵CD=CH，∠DCH=120°，

∴∠CDH=∠CHD=30°，

∵∠DCJ=90°，

∴∠DJC=60°，DJ=2CJ

∴∠JMF=90°，

∵∠DJC=∠FJM，∠DCJ=∠FMJ，

∴△DCJ∽△FMJ，

∴，

∵∠MJC=∠FJD，

∴△JMC∽△JFD，

∴，

∴DF=2CM，

∵HG=DF，

∴HG=2CM．

（2）如图3中，连接AE，延长BC到T，使得CT=BC，连接AT．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=∠ABT=90°，

∵CF+CE=2=CD=CE+DE，

∴DE=CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴AE=DF，

∵CD⊥BT，CB=CT，

∴EB=ET，

∴DF+BE=AE+ET，

∵AE+ET≥AT，AT=，

∴DF+BE=AE+ET≥，

∴DF+BE的最小值为．