Question

如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x²-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．
①求证：OC²=CD•CB；②求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在⊙M上是否存在一点P，使△POD的面积与△ABD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x²-17x+60=0的两根，求出方程的解即可；
（2）点C是劣弧OA的中点，得∠OBC=∠DOC，则△OCB∽△DCO；连接MC，根据垂径定理的推论，得MC⊥OA．再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可；
（3）根据相似三角形OBD和ECD求出OD的长，那么S_△ABD=S_△POD，可据此求出三角形POD中OD边上的高，然后同⊙M中点到x轴的最大距离进行比较即可得出P是否在圆上．

解答：解：（1）x²-17x+60=0
（x-12）（x-5）=0
x₁=12，x₂=5，
OA=12，OB=5；

（2）①∵点C是劣弧OA的中点，
∴

OC

=

AC

∴∠OBC=∠DOC，
又∵∠C=∠C，
∴△OCB∽△DCO．
∴

OC

BC

=

CD

OC

即OC²=CD•CB；
②连接MC交OA于点E，根据垂径定理的推论，得ME⊥OA，

根据垂径定理，得OE=6，
∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，
∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13，
根据勾股定理，得ME=

MO2-ME2

=

6．52-62

=2.5．
∴CE=6.5-2.5=4，
即C（6，-4）；

（3）假定在⊙上存在点P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴

OB

EC

=

OD

ED

，
即

5

4

=

OD

6-OD

解得OD=

10

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

，
故可得在△POD中，OD边上的高为13，即点P到x轴的距离为13，
∵⊙上的点到x轴的最大距离为9，
∴点P不在⊙上，
故在⊙上不存在点P，使S_△ABD=S_△POD．

点评：本题考查了圆的综合题目，涉及了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，注意所学知识的融会贯通．