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(2005·四川成都)已知:如图a所示,△ABC是等边三角形,过AB边上的点DDGBC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DB,连接AECD

(1)求证:△AGE≌△DAC

(2)过点EEFDC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,并证明你的结论.

答案:略
解析:

  证明 (1)∵如图所示,△ABC是等边三角形.

  ∴AB=AC=BC,∠BAC=ABC=ACB=60°.

  ∵EGBC,∴∠ADG=ABC=60°,

  ∠AGD=ACB=60°.

  ∴△ADG是等边三角形.

  ∴AD=DG=AG

  ∵DE=DB,∴EG=AB.∴GE=AC

  ∴在△AGE和△DAC中,

  ∵EG=AB=CA

  ∠AGE=DAC=60°,AG=DA

  ∴△ACE≌△DAC

(2)如图b所示

连接AF,则△AEF是等边三角形.

  ∵EGBCEFDC

  ∴四边形EFCD是平行四边形.

  ∴EF=DC,∠DEF=DCF

  ∵△AGE≌△DAC

  ∴∠AE=CD,∠AED=ACD

  ∵EF=CD=AE,∠AED+∠DEF= ACD+∠DCB=60°,

  ∴△AEF是等边三角形.


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