Question

已知函数y=（m-3）xm2-2m-6是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的m的值；
（2）当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数的定义

专题：

分析：（1）根据二次函数的定义得到m-3≠0且m²-2m-6=2，然后解方程得到m的值；
（2）、（3）根据二次函数的性质求解．

解答：解：（1）根据题意得m-3≠0且m²-2m-6=2，
解得m₁=-2，m₂=4．
所以满足条件的m的值为-2或4；
（2）∵当m-3＞0时，图象有最低点，
∴m=4，此时二次函数的解析式为y=x²，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3））∵当m-3＜0时，图象有最高点，
∴m=-2，此时二次函数的解析式为y=-5x²，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．