Question

【题目】如图1，在坐标平面中，A(－6，0)、B(6，0)，点 C 在 y 轴正半轴上，且∠ACB＝90．

⑴求点 C 的坐标；

⑵如图2，点 P 为线段 BC 上一点，连接 PA，设点 P 的横坐标为 m，△PAC 的面积为 S，用含 m 的代数式来表示 S；

⑶如图3，在⑵的条件下，过点 B 向 PA 引垂线，垂足为 E，延长 BE、AC 相交于点 F，连接PF，若 PF＝3，求 m 的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，6）；（2）S，（3）.

【解析】

(1)由A(－6，0)、B(6，0)，得：OA=OB=6，进而得到∠CAO=∠ACO=45°，OC=OA=6，即可求解；

(2)过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图1，易证PCM是等腰直角三角形，即：CP=，由AOC是等腰三角形，得AC=，根据三角形得面积公式，即可求解；

(3)易证BCFACP，从而可得PCF是等腰直角三角形，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图2，可知：PCM是等腰直角三角形，进而可求出m的值.

（1）∵在坐标平面中，A(－6，0)、B(6，0)，

∴OA=OB=6，

∴OC垂直平分AB，

∴AC=BC，

∵∠ACB＝90，

∴∠CAO=∠ACO=45°（等腰三角形三线合一），

∴OC=OA=6，

∵点 C 在 y 轴正半轴上，

∴点 C 的坐标是（0，6）

（2）过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图1，

由（1）可知：∠BCO=∠ACO=45°，

∵PM⊥y轴，

∴PCM是等腰直角三角形，

∵点 P 为线段 BC 上一点，点 P 的横坐标为 m，

∴MP=m，

∴CP=，

∵AOC是等腰三角形，

∴AC=

∵ ∠ACB＝90，

∴S=，

（3）∵BE ⊥AP，∠ACB＝90，

∴∠CBF+∠BFC=90°，∠CAP+∠BFC=90°，

∴∠CBF=∠CAP

在BCF和ACP中，

∵

∴BCFACP（ASA），

∴CF=CP，

∴PCF是等腰直角三角形，

∵PF=3，

∴PC=PF÷=3÷=，

过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图2，

由（2）可知：PCM是等腰直角三角形，

∴PM=PC，即：m=，

∴m=

图1 图2