Question

7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18，BC=21．点P从A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速移动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速移动．点P、Q同时出发，其中一个点到终点时两点停止运动，设移动的时间为t秒，求：
（1）当AB=10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出定义域；
（2）设E、F为AB、CD中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．

Answer 1

分析 （1）A、B、Q、P四点构成的图形是梯形，根据图形的面积公式进行列式计算，即可得到S关于t的函数关系式；
（2）先过点D作DH⊥BC于H，过点F作FG⊥BC与G，得出DH∥FG，四边形ABHD是矩形，再根据四边形EPFQ是平行四边形，得出△AEP≌△GFQ，根据QG=AP列出关于t的方程求解即可．

解答 解：（1）由题得，AP=t，CQ=2t，BQ=21-2t，AB=10，∠B=90°
∴A、B、Q、P四点构成的图形的面积=$\frac{1}{2}$×（AP+BQ）×AB
∴S=$\frac{1}{2}$×（t+21-2t）×10=105-5t
∵18÷1=18，21÷2=10.5
∴定义域为：0≤t≤10.5


（2）过点D作DH⊥BC于H，过点F作FG⊥BC与G，则DH∥FG，四边形ABHD是矩形
∵F是CD的中点
∴G是CH的中点，FG=$\frac{1}{2}$DH
∵∠B=90°，AD=18，BC=21
∴CH=21-18=3，CG=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{3}{2}$
∴QG=QC-GC=2t-$\frac{3}{2}$
当四边形EPFQ是平行四边形时，PE=QF
又∵AE=FG=$\frac{1}{2}$AB，∠A=∠FGQ
∴△AEP≌△GFQ（HL）
∴QG=AP
即2t-$\frac{3}{2}$=t
解得t=$\frac{3}{2}$
故四边形PEQF是平行四边形时，t的值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了梯形以及平行四边形的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形ABHD．解题时注意：全等三角形的对应边相等，这是得出方程的依据．