Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴上，且OC＝，tan∠OAC＝，将△OAC沿AC翻折使点O落在坐标平面内的B点处．

(1)求B点的坐标；

(2)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过O、B、A三点，求这个二次函数的解析式；

(3)在(2)中的二次函数图象上是否存在一点P，使以P、A、B、O为顶点的四边形为梯形？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵tan∠OAC＝，∴有∠OAC＝30° 　　∴OC＝，OA＝4…………1分 　　由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，所以∠BOA＝60° 　　∠OAB＝2∠OAC＝60°，知△OAB是等边三角形 　　所以OB＝OA＝4 　　因为 　　所以 　　　即B(2，)………………2分 　　(2)因为二次函数的图象经过O、B、A三点 　　所以设其为 　　因为A(4，0)，B(2，)，将其代入，得 　　　得 　　所以………………………………4分 　　说明：用其它方法正确得到解析式，同样给分． 　　(3)若存在点P使四边形PABO为梯形 　　因为B为抛物线顶点，所以OA不可能为梯形的底 　　①当OB∥P1A时，有∠OAD＝60° 　　设交y轴于点D，因为OA＝4，所以D(0，) 　　设过A、D的直线解析式为() 　　所以 　　得 　　因为P1是二次函数图象与直线AD的交点 　　所以 　　解出　或 　　因为A(4，0)，所以………………6分 　　过作PM⊥x轴于M点，则线段 　　所以线段P1A＝12，OB＝4 　　在四边形P1ABO中，BO∥AP1，且，所以四边形是梯形……7分 　　②当时，同理可求出另一个点………………8分 　　说明：只要正确说明一组对边不平行的理由给1分．