Question

如图，直线AB经过A（1，0），B（0，1）两点，动点P在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上运动，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为点M、N，与AB分别交于E、F两点，请尽可能多地找出图中的数量、位置关系．

Answer 1

分析：由PM⊥x轴，PN⊥y轴可以推出四边形OMPM是矩形，然后利用矩形的性质，由已知A（1，0），B（0，1）可以推出三角形△AOB是等腰直角三角形．

解答：解：不变关系：
（1）∵P在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，∴矩形OMPN面积为

1

2

；
（2）∵A（1，0），B（0，1），∴△AOB是等腰直角三角形，∴△BNF∽△FPE∽△AME（均为等腰直角三角形）；
（3）AF•BE=1；
（4）△BOE∽△AFO；
（5）∠EOF=45°；
（6）△EOF的外心为I，则四边形IEPF为正方形；
（7）动点P到直线AB的最短距离为

2- 2

2

；
（8）当P到AB的距离d最短时，正方形IEPF（I为△EOF的外心）的面积最小，等于3-2

2

等．

点评：此题综合考查了反比例函数，一次函数，矩形等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．