Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．

（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2 ， 求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC=2∠D，

∴∠D+2∠D=180°，

∴∠D=60°，

∴∠AOC=2∠D=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）

解：∵∠COB=3∠AOB，

∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，

在Rt△OCE中，OC=2，

∴OE=OCtan∠OCE=2tan30°=2×=2，

∴S△OEC=OEOC=×2×2=2，

∴S扇形OBC==3π，

∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2．

【解析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有圆内接四边形性质，割补法求扇形面积.