Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

（1）y=x²-2x-3；（2）存在点P，P点的坐标为（，?）；（3）P点的坐标为(，?)，四边形ABPC的面积的最大值为.

试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x²-2x-3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，

∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y=?；
∴x²-2x-3=?
解得x₁=，x₂=（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，?）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x²-2x-3），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，解得：
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴AO=1，AB=4，
S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+(?x²+3x)×3
=?(x?)²+
当x=时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为(，?)，四边形ABPC的面积的最大值为