Question

一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，4），O为坐标系原点，线段OA、AB的中点分别为点C、D，P为直线OB上一动点，
（1）直接写出直线AB的解析式______．
（2）当点P在直线OB上运动时，△PCD的面积是否发生变化，说明理由．
（3）当点P在直线OB上运动时，△PCD的周长是否发生变化？如果发生变化，求出△PCD的最小周长及此时周长最小时的点P的坐标．
（4）直接写出△PCD为等腰三角形时的点P的坐标．

Answer 1

解（1）∵y=kx+b过A（2，0），B（0，4），
∴将点A、B的坐标代入y=kx+b得，
k=-2，b=4，
∴解析式为：y=-2x+4；
当x=1时，y=-2×1+4=2，所以点在函数图象上．

（2））△PCD的面积不发生变化；
∵A（2，0），B（0，4），C、D是线段OA、AB的中点，
∴C（1，0）、D（1，2），
∴CD=2，
又∵点P在y轴上运动，CD∥y轴，
∴点P到y轴的距离总是1，及△PCD的CD边上的高为n=1，
∴三角形PCD的面积s=CD．h=×2×1=1，
∴△PCD的面积不发生变化；

（3）△PCD的周长发生变化．
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得：，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2，
∵△PCD的周长的最小值为C′D+CD，CD=2，
∴△PCD的周长的最小值为+2；

（4）P（0，1）或P（0，）或P（0，）或P（0，）或P（0，）．
故答案为：y=-2x+4．
分析：（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算出k、b的值，从而得出解析式，然后验证（1，2）是否在函数图象上即可；
（2）根据点A、B的坐标和C、D是线段OA、AB的中点，得出点C和D的坐标，求出CD的长，再根据CD∥y轴，得出点P到y轴的距离以及△PCD的CD边上的高，从而求出三角形PCD的面积，即可得出△PCD的面积不发生变化；
（3）根据题意先取点C关于点O的对称点为C′，连接DC′，即C′、P、D共线时，PC+PD的最小值是C′D，再根据△PCD的周长的最小值为C′D+CD，在直角三角形C′CD中，根据勾股定理，可得C′D的长，根据三角形的中位线定理已知点P的坐标，即可得出C′D的值，再根据CD=2，即可求出△PCD的周长的最小值．
（4）根据题目中所给的条件，即可得出点P的坐标，共有5种情况，使△PCD为等腰三角形．
点评：本题考查了一次函数的综合应用及最短路线问题，用到的知识点是待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短的定理以及勾股定理的运用，本题有一定的难度，注意第（4）问点P有五种情况，不要漏项．