Question

直角坐标系中，直线OC和BC的函数关系式分别是y=x，y=-2x+6，过B点作x轴的垂线交直线OC于A点，D是线段OC上的一个动点（点D，O不重合），以BD为直角边作等腰Rt△BDE（E在第四象限），F是AE中点．确定线段BF、AD的数量关系和位置关系，并加以证明．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：首先证明O、D、B、E四点共圆，则OE⊥AO，作BK⊥AO交AO于K，交AE于L，则KL即为Rt△AOE的中位线，L和F重合．然后证明△ADB≌△OEB，则AD=OE，BF=BK-FK=

1

2

AO-

1

2

OE=

1

2

AO-

1

2

AD，求得OB的长，即可求解．

解答：解：数量关系：2BF+AD=3

2

，
位置关系：BF⊥AD．
理由是：∵∠DBO+∠EBO=90°，∠DBO+∠ABD=90°．
∴∠EBO=∠ABD．
∵∠BDO=45°+∠ODE=∠OAB+∠ABD=45°+∠ABD，
∴∠ODE=∠ABD=∠EBO，
∴O、D、B、E四点共圆．
∴∠AOE=90°，即OE⊥AO．
作BK⊥AO交AO于K，交AE于L，则KL即为Rt△AOE的中位线，
∴L为AE的中点，
又∵F是AE的中点，
∴L和F重合，
∴BF⊥AD．
在△ADB和△OEB中，

AB=OB BD=BE ∠ABD=∠OBE

，
∴△ADB≌△OEB．
∴AD=OE，BF=BK-FK=

1

2

AO-

1

2

OE=

1

2

AO-

1

2

AD，
∴BF+

1

2

AD=

1

2

AO．
∵B是直线y=-2x+6与x轴的交点，
∴OB=3，则AO=3

2

，
∴BF+

1

2

AD=

1

2

×3

2

=

3 2

2

．
即2BF+AD=3

2

．

点评：本题时一次函数以及三角形的全等的判定的综合应用，作出辅助线，正确证明△ADB≌△OEB是关键．