Question

10．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为4$\sqrt{3}$或4$\sqrt{7}$或4．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．

解答 解：如图1，当∠AMB=90°时，

∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；

如图2，当∠AMB=90°时，

∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=4；

如图3，当∠ABM=90°时，

∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO=30°，
∴MO=2BO=2×4=8，
∴Rt△BOM中，BM=$\sqrt{M{O}^{2}-O{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4$\sqrt{3}$或4$\sqrt{7}$或4．
故答案为：4$\sqrt{3}$或4$\sqrt{7}$或4．

点评 本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．